Question

2．擬用長度為l的鋼筋焊接一個如圖所示的矩形框架結構（鋼筋體積、焊接點均忽略不計），其中G、H分別為框架梁MN、CD的中點，MN∥CD，設框架總面積為S平方米，BN=2CN=2x米．
（1）若S=18平方米，且l不大于27米，試求CN長度的取值范圍；
（2）若l=21米，求當CN為多少米時，才能使總面積S最大，并求最大值．

Answer 1

分析 （1）設AB=y米，BC=3x米，求得框架的總面積和總長度，根據題意得到不等式組，即可得到所求長度的范圍；
（2）運用矩形的面積公式，可得面積S的二次函數，配方即可得到所求最大值和所求長度．

解答 解：（1）設AB=y米，BC=3x米，
框架總面積為3xy，
框架總長度為3y+7x米，
故$\left\{\begin{array}{l}{3xy=18}\\{3y+7x≤27}\end{array}\right.$          （每寫出一個給2分） …（4分）
所以有$\frac{18}{x}$+7x≤27，
故7x²-27x+18≤0，
解得$\frac{6}{7}$≤x≤3；                                      …（7分）
（2）由（1）知3y+7x=21，
即y=7-$\frac{7}{3}$x（0＜x＜3）…（10分）
S=3xy=3x（$\frac{21-7x}{3}$）
=7（-x²+3x）=7[-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]…（12分）
故當x=$\frac{3}{2}$時，S有最大值$\frac{63}{4}$ 平方米           …（14分）
答：（1）滿足條件的CN長度的取值范圍為[$\frac{6}{7}$，3]單位米．
（2）當CN=$\frac{3}{2}$米時，框架的總面積最大，最大值$\frac{63}{4}$平方米…（16分）
（備注：沒有范圍的扣（2分），二次函數沒有配方的或沒有指明對稱軸的扣（2分），
答中沒有單位的扣2分）

點評 本題考查函數模型在實際問題中的運用，考查二次函數的最值和二次不等式的解法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．