Question

2．已知等比數列{a_n}的第2項、第5項分別為二項式（2x+1）⁵展開式的第5項、第2項的系數．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記數列{a_n}的前n項和為S_n，若存在實數λ，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出二項式（2x+1）⁵展開式的通項公式，可得a₂，a₅，運用等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比，即可得到所求；
（2）運用等比數列的求和公式，可得S_n，再由參數分離，化簡可得λ＞1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，求出不等式右邊的范圍，即可得到所求實數λ的取值范圍．

解答 解：（1）二項式（2x+1）⁵展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r，
由題意可得a₂=${C}_{5}^{4}$•2=10，a₅=${C}_{5}^{1}$•2⁴=80，
設等比數列的公比為q，則q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=8，解得q=2，
a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=5，
則an=5•2^n-1，n∈N*；
（2）由（1）可得前n項和為S_n=$\frac{5（1-{2}^{n}）}{1-2}$=5（2ⁿ-1），
若存在實數λ，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立，
即為$\frac{λ}{10•{2}^{n-1}}$＞$\frac{1}{5•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{5（{2}^{n}-1）}$恒成立．
化簡可得λ＞2-$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$，即λ＞1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
由n∈N*，可得$\frac{1}{{2}^{n}-1}$∈（0，1]，
即有1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$∈[0，1），
則當λ≥1時，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立．

點評 本題考查二項式定理的運用：求指定項的系數，考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，以及不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．