Question

12．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，點R的坐標為$（2\sqrt{2}，\sqrt{6}）$，又點F₂在線段RF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A₁，A₂，點P在直線$x=-2\sqrt{3}$上（點P不在x軸上），直線PA₁，PA₂與橢圓C分別交于不同的兩點M，N，線段MN的中點為Q，若|MN|=λ|A₁Q|，求λ．

Answer 1

分析 （1）根據|F₁F₂|=|RF₂|列方程解出c，從而得出a，b求出橢圓方程；
（2）設PA₁的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），求出PA₂方程，與橢圓方程聯立求出N點坐標，通過計算斜率可得A₁N⊥A₁M，從而得出|MN|=2|A₁Q|．

解答 （1）解：∵e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵F₂（c，0）在PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|RF₂|，（2c）²=$\sqrt{6}$²+（2$\sqrt{2}$-c）²，解得c=2，∴a²=3，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1． 
（2）證明：由（Ⅰ）知A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），
設PA₁的方程為y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），則P坐標（-2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$k），
∴k${\;}_{P{A}_{2}}$=$\frac{k}{3}$，∴PA₂方程為y=$\frac{k}{3}$（x-$\sqrt{3}$），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{3}（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（3+k²）x²-2$\sqrt{3}$k²x+3k²-9=0，
解得N（$\frac{\sqrt{3}（{k}^{2}-3）}{{k}^{2}+3}$，-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+3}$），
∴k${\;}_{{A}_{1}N}$=-$\frac{1}{k}$，∴A₁M⊥A₁N，
∴三角形MNA₁為直角三角形，又Q為斜邊中點，
∴|MN|=2|A₁Q|，即λ=2．

點評 本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓等橢圓知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等．