Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域（0，+∞）；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（0＜x₀≤3）恒成立?a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到最大值，進(jìn)而得到a的最小值．

解答 解：（1）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），F(xiàn)′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，a＞0，
當(dāng)x＞a，F(xiàn)′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜a，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，a）單調(diào)遞減，
則F（x）的增區(qū)間為（a，+∞），減區(qū)間為（0，a）；
（2）由y′=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，a＞0（0＜x≤3），
k=y′|${\;}_{x={x}_{0}}^{\;}$=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（0＜x₀≤3）恒成立?a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，
當(dāng)x₀=1時(shí)，-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀ 取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴a_min=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，考查化歸思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．