Question

17．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一個焦點為F，以原點為圓心，OF為半徑的圓與雙曲線交于A，B，C，D四點，若四邊形ABCD恰為正方形，且周長為6b，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{{\sqrt{11}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知x²=y²，8丨x丨=6b，則丨x丨=$\frac{3}{4}$b，且x²+y²=c²，即可求得8c²=9b²，a²=c²-b²=$\frac{1}{9}$c²，根據雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：設A（x，y），B（-x，y），C（-x，-y），D（x，-y），
由于四邊形ABCD是正方形，周長為6b，
∴x²=y²，8丨x丨=6b，則丨x丨=$\frac{3}{4}$b，①
由x²+y²=c²，即c²=2x²，②
由①②解得：8c²=9b²，
a²=c²-b²=$\frac{1}{9}$c²，
即a=$\frac{1}{3}$c，
由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=3，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，雙曲線離心率的求法，考查數形結合思想，屬于中檔題．