Question

12．已知不等式mx²-2mx-1＜0．
（1）若對于所有的實數x不等式恒成立，求m的取值范圍；
（2）設不等式對于滿足|m|≤1的一切m的值都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論m的范圍，結合二次函數的性質求出m的范圍即可；
（2）根問題轉化為$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x-1＜0}\\{{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，解不等式組即可．

解答 解：（1）m=0時，-1＜0恒成立，
m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={4m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，解得：-1＜m＜0，
綜上，m的范圍是（-1，0]；
（2）設f（m）=（x²-2x）m-1，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x-1＜0}\\{{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≠1}\\{1-\sqrt{2}＜x＜1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴1-$\sqrt{2}$＜x＜1或1＜x＜1+$\sqrt{2}$，
故x的范圍是（1-$\sqrt{2}$，1）∪（1，1+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查絕對值問題，是一道中檔題．