Question

7．若函數$f（x）={log_a}（{x^3}-ax）（a＞0且a≠1）在區間（-\frac{1}{3}，0）$內單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{2}{3}，1）$
• B． $[\frac{1}{3}，1）$
• C． $[\frac{1}{3}，1）∪（1，3]$
• D． （1，3]

Answer 1

分析 利用導函數討論內層函數的單調性，根據復合函數的單調性判斷即可得結論．

解答 解：由題意，函數$f（x）={log_a}（{x^3}-ax）（a＞0且a≠1）在區間（-\frac{1}{3}，0）$內單調遞增，
∵y=x³-ax=x（x²-a），y＞0，a＞0，
∴函數y的零點為0，$-\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$．
則y′=3x²-a，
令y′=0，
可得${x}_{1}=\sqrt{\frac{a}{3}}$，${x}_{2}=-\sqrt{\frac{a}{3}}$．
∴函數y=x³-ax（y＞0）的單調增區間為[$-\sqrt{a}$，$-\sqrt{\frac{a}{3}}$]和[$\sqrt{a}$，+∞）．
單調減區間為[$-\sqrt{\frac{a}{3}}$，0]．
當0＜a＜1時，（-$\frac{1}{3}$，0）⊆[$-\sqrt{\frac{a}{3}}$，0]．即：$-\sqrt{\frac{a}{3}}$$≤-\frac{1}{3}$，
可得：$a≥\frac{1}{3}$．
∴實數a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．
故選B．

點評 本題考查了復合函數的單調性“同增異減”判斷零點問題以及利用導函數討論單調性．屬于中檔題．