Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{1，3}），\overrightarrow b=（{m，2}），\overrightarrow c=（{3，4}）$，且$（{\overrightarrow a-3\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow c$
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量坐標公式先求出向量坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式進行求解即可．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用求出向量長度，進行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（{1，3}），\overrightarrow b=（{m，2}），\overrightarrow c=（{3，4}）$，
∴$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=（1.3）-（3m，6）=（1-3m，-3），
∵$（{\overrightarrow a-3\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow c$，
∴（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=3（1-3m）+（-3）×4=-9m-9=0，
得m=-1．
（2）由（1）知，$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=5，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{5}{\sqrt{10}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵θ∈（0，π），
∴θ=$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系以及向量夾角與向量數(shù)量積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．