Question

19．數列{a_n}滿足2na_n+1=（n+1）a_n，其前n項和為S_n，若${a_1}=\frac{1}{2}$，則使得$2-{S_n}＜\frac{6}{5}{a_n}$最小的n值為（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，運用等比數列的定義和通項公式可得a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數列的求和方法：錯位相減法和等比數列的求和公式，可得S_n，解不等式可得n＞10，即可得到所求n的最小值．

解答 解：∵2na_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
若${a_1}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項和為S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則$2-{S_n}＜\frac{6}{5}{a_n}$即為（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{6}{5}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得n＞10，
則n的最小值為11．
故選：D．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意運用等比數列的定義和通項公式，考查數列的求和方法：錯位相減法，同時考查不等式的解法，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．