Question

11．若函數f（x）滿足$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）+1}$，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間（-1，1]上，方程f（x）-4ax-a=0有兩個不等的實根，則實數a的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，$\frac{1}{5}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）在（-1，0）上的解析式，作出函數圖形，根據f（x）與直線y=4ax+a有兩個交點判斷a的臨界值，得出a的范圍．

解答 解：∵f（x+1）=$\frac{1}{f（x）+1}$，∴f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}-1$，
當x∈（-1，0）時，x+1∈（0，1），
∴f（x）=$\frac{1}{x+1}-1$．x∈（-1，0）．
作出f（x）在（-1，1]上的函數圖形，如圖所示：

令f（x）-4ax-a=0得f（x）=4a（x+$\frac{1}{4}$），
∴y=f（x）與直線y=4a（x+$\frac{1}{4}$）在（-1，1]上有兩個交點．
若直線y=4a（x+$\frac{1}{4}$）經過點（1，1），則a=$\frac{1}{5}$；
若直線y=4a（x+$\frac{1}{4}$）與y=$\frac{1}{x+1}-1$相切，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=4ax+a}\\{y=\frac{1}{x+1}-1}\end{array}\right.$，消元得4ax²+（5a+1）x+a=0，
令△=（5a+1）²-16a²=0得a=-1或a=-$\frac{1}{9}$．
當a=-$\frac{1}{9}$時，方程的解為x=-$\frac{5a+1}{8a}$=$\frac{1}{2}$，不符合題意；
故a=-1．
∴a＜-1或0＜a＜$\frac{1}{5}$．
故答案為：$（{-∞，-1}）∪（{0，\frac{1}{5}}]$．

點評 本題考查了函數解析式的求解，方程解與函數圖形的關系，屬于中檔題．