Question

1．已知函數f（x）=e^x-kx²在區間（0，+∞）上單調遞增，則k的取值范圍是（-∞，$\frac{e}{2}$]．

Answer 1

分析 問題轉化為k≤$\frac{{e}^{x}}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，（x＞0），根據函數的單調性求出g（x）的最小值，求出k的范圍即可．

解答 解：由函數f（x）=e^x-kx²，x∈R，
則f′（x）=e^x-2kx≥0在（0，+∞）恒成立，
故k≤$\frac{{e}^{x}}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（1）=$\frac{e}{2}$，
故k≤$\frac{e}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{e}{2}$]．

點評 本題考查了函數恒成立問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．