Question

2．已知直線l：y=x+m與圓C：x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B不同兩點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\end{array}\right.$，得：2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，由此利用根的判別式能求出m的取值范圍．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-（m+1），{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$，由于以AB為直徑的圓為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，若它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\end{array}\right.$，得：2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，
∵直線l：y=x+m與圓C：x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B不同兩點(diǎn)，
∴△=4（m+1）²-8（4m-4）＞0，
解得$-3-3\sqrt{2}＜m＜-3+3\sqrt{2}$，
∴m的取值范圍是（-3-3$\sqrt{2}$，-3+3$\sqrt{2}$）．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-（m+1），{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
由于以AB為直徑的圓為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
若它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
∴$2×\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$+m×$\frac{-（m+1）}{2}$+m²=0
解得m=-4或m=1．
直線l的方程為x-y-4=0或x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍、直線方程的求法，考查圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．