Question

11．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，直線l：y=kx-kc．若k=$\sqrt{3}$，則l與Γ的左、右兩支各有一個交點；若k=$\sqrt{15}$，則l與Γ的右支有兩個不同的交點，則Γ的離心率的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，16）

Answer 1

分析 由題意可知雙曲線的漸近線斜率$\sqrt{3}$＜$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{15}$，根據e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得Γ的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可知：直線l：y=k（x-c）過焦點F（c，0）．雙曲線的漸近線方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得雙曲線的漸近線斜率$\sqrt{3}$＜$\frac{b}{a}$＜$\sqrt{15}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
由3＜$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜15，4＜1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜16，
∴2＜e＜4，
∴雙曲線離心率的取值范圍為（2，4）．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．