Question

10．若存在n∈N^*使得（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹（其中a≠0）的展開式中含xⁿ項的系數相等，則a的最大值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用二項展開式的通項公式求出（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹的展開式中含xⁿ項的系數，根據已知條件得到關于a，n的方程；分離出a看成關于n的函數，通過函數的單調性，求出a的范圍．

解答 解：設（x+a）²ⁿ⁺¹的展開式為T_r+1，
則T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-ra^r，
令2n+1-r=n，
得r=n+1，
所以xⁿ的系數為C_2n+1ⁿ⁺¹aⁿ⁺¹．
由C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=C_2nⁿaⁿ，
得a=$\frac{n+1}{2n+1}$是關于n的減函數，
∵n∈N⁺，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$，
故a的最大值為$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查通過二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，屬于中檔題