Question

13．已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，若$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$，則m的值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，取AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)平面向量的平行四邊形法則可得OD⊥AB，代入已知的等式中，連接OD，可得其數(shù)量積為0，在化簡(jiǎn)后的等式兩邊同時(shí)乘以$\overrightarrow{AB}$，整理后利用向量模的計(jì)算法則及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再利用正弦定理變形，并用三角函數(shù)表示出m，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，抵消合并約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$代入即可用θ的三角函數(shù)表示出m．

解答 解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接OA，OD，
由三角形外接圓的性質(zhì)可得OD⊥AB，∴$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$=0．
∵$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$入已知若$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$=2m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$），
兩邊與作數(shù)量積得到$\frac{cosB}{sinC}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=2m$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+2m$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{cosB}{sinC}$sin²c+$\frac{cosC}{sinB}$•bccosA=2m•$\frac{1}{2}{c}^{2}$=mc²．
由正弦定理可得$\frac{cosB}{sinC}$sin²c+$\frac{cosC}{sinB}$•sinBsinCcosA=msin²C．
化為cosB+cosCcosA=msinC，
∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
∴sinAsinC=msinC，
∴m=sinA．
∵tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinA═$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角形外接圓的性質(zhì)、垂徑定理、正弦定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的余弦公式、三角函數(shù)基本關(guān)系式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．