Question

8．已知直線L：y=kx-1與橢圓C：3x²+y²=2．
（1）求證：直線L與橢圓C總有兩個交點．
（2）假設直線L與橢圓C的兩個交點為A、B，若以線段AB為直徑的圓經過坐標原點O，求k的值
（3）若三角形AOB的面積為$\frac{1}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直線方程與橢圓方程聯立可得（3+k²）x²-2kx-1=0，只要證明△＞0即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根據以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，可得：OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，利用根與系數的關系代入即可得出．
（3）由（2）得：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，又點O到直線L的距離是：$d=\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 （1）證明：由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{3{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$得（3+k²）x²-2kx-1=0，
∴△=4k²+4（3+k²）=8k²+12＞0，
∴直線L與橢圓C總有兩個交點．
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由（1）得${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{3+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{1}{{3+{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-k（{x_1}+{x_2}）+1=\frac{{3-2{k^2}}}{{3+{k^2}}}$，
∵以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，
∴OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$-\frac{1}{{3+{k^2}}}+\frac{{3-2{k^2}}}{{3+{k^2}}}=0$，∴k=±1．
（3）由（2）得：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{2{k^2}+3}}}{{3+{k^2}}}$，
又點O到直線L的距離是：$d=\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{\sqrt{2{k^2}+3}}}{{3+{k^2}}}=\frac{1}{2}$．
解得$k=±\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．