Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），其離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過點$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=k（x-1）與橢圓C交于R，S兩點．問是否在x軸上存在一點T，使當k變動時，總有∠OTS=∠OTR？若存在請求出點T，若不存在請說明理由！

Answer 1

分析 （1）由率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a²=4b²，將$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．代入橢圓方程，即可求得b和a的值，求得橢圓C的方程；
（2）假設存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．聯立橢圓方程，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出存在T（4，0），使得當k變化時，總有∠OTS=∠OTR．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a²=4b²，
則橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
將$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$代入上式：$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，解得：b=1，
∴a=2，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）假設存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
其中△=（8k²）²-4（1+4k²）（4k²-4）=3k²+1＞0恒成立，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由∠OTS=∠OTR（由題意TS，TR的斜率存在），
故k_TS+k_TR=0，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
由R，S兩點在直線y=k（x-1）上，故 y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入②得$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-t）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-（t+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2t]}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
即有2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0…（9分）
∴$\frac{8{k}^{2}-8-8{k}^{2}（t+1）+2t（1+4{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2t-8}{1+4{k}^{2}}$，
要使得與k的取值無關，當且僅當“t=4“時成立，
綜上所述存在T（4，0），使得當k變化時，總有∠OTS=∠OTR．

點評 本題考查曲線方的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意橢圓定義、根的判別式、韋達定理的合理運用，屬于中檔題．