Question

20．如圖，D是△ABC邊AB上的一點，△ACD內接于圓O，且∠CAD=∠BCD，E是CD的中點，BE的延長線交AC于點F，證明：
（1）BC是圓O的切線；
（2）$\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}$=$\frac{AF}{CF}$．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接CO與⊙O交于點G，連接GD．欲證明BC是圓O的切線，只需推知CG⊥BC即可；
（2）如圖，過點D作AC的平行線交BF于H．構建相似三角形：∴△ABF∽△DBH，△ECF∽△EDH，由相似三角形的對應邊成比例、切割線定理證得結論．

解答 證明：（1）如圖，連接CO與⊙O交于點G，連接GD．
∵CG是⊙O的直徑，
∴∠CDG=90°，
∴∠CGD+∠GCD=90°．
∵∠CAD=∠BCD=∠CGD，
∴∠BCD+∠GCD=90°，即CG⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）如圖，過點D作AC的平行線交BF于H．
∵DH∥AC，
∴△ABF∽△DBH，△ECF∽△EDH，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{DH}$，$\frac{CF}{DH}=\frac{CE}{DE}$．
∵E是CD的中點，
∴CE=DE，
∴CF=DH．
∵BC與⊙O切于點C，BDA為⊙O的割線，
∴由切割線定理，得BC²=AB•BD，
∴$\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}=\frac{{A{B^2}}}{AB\;•\;BD}=\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{CF}$．

點評 本題考查了與圓有關的比例線段，解題時，需要掌握切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及切割線定理，屬于中檔題，需要學生具備綜合分析能力．