Question

10．已知關于x的方程x²+mx+m²-3=0的實數根分別為x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂，實數m的取值范圍是集合G．
（1）求G；
（2）若存在m∈G，x∈{1，4}，使得x₁²+x₂²=x+a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數的性質，列出不等式求解即可．
（2）通過韋達定理轉化列出不等式組求解即可．

解答 解：（1）設f（x）=x²+mx+m²-3，方程x²+mx+m²-3=0的實數根分別為x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂，可得，f（1）＜0，
即：m²+m-2＜0，解得-2＜m＜1，
∴G=（-2，1）．
（2）由已知可得x₁+x₂=-m；x₁•x₂=m²-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-m²+6，
由（1）m∈（-2，1），-m²∈（-4，0]．-m²+6∈（2，6]，
∴x₁²+x₂²的取值范圍是（2，6]，∵x∈（1，4），
∴x+a∈（1+a，4+a），存在m∈G，x∈{1，4}，使得x₁²+x₂²=x+a，
∴（2，6]∩（1+a，4+a）≠∅
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a＜6}\\{2＜4+a}\end{array}\right.$，
∴a的取值范圍是（-2，5）．

點評 本題考查零點判定定理以及二次函數的性質的應用，集合的應用，考查轉化思想以及計算能力．