Question

2．已知點F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，若點M（x₀，1）在C上，且|MF|=$\frac{{5{x_0}}}{4}$．
（1）求p的值；
（2）若直線l經過點Q（3，-1）且與C交于A，B（異于M）兩點，證明：直線AM與直線BM的斜率之積為常數．

Answer 1

分析 （1）拋物線定義知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$，則x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{{5{x_0}}}{4}$，求得x₀=2p，代入拋物線方程，x₀=1，p=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y²=2x，當直線l經過點Q（3，-1）且垂直于x軸時，直線AM的斜率k_AM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直線BM的斜率k_BM=$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$，k_AM•k_BM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$×$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．當直線l不垂直于x軸時，直線l的方程為y+1=k（x-3），代入拋物線方程，由韋達定理及斜率公式求得k_AM•k_BM=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{+y}_{2}+1}$=$\frac{1}{-3-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}+1}$=-$\frac{1}{2}$，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數-$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由拋物線定義知|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$，則x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{{5{x_0}}}{4}$，解得x₀=2p，
又點M（x₀，1）在C上，代入y²=2px，整理得2px₀=1，解得x₀=1，p=$\frac{1}{2}$，
∴p的值$\frac{1}{2}$；
（2）證明：由（1）得M（1，1），拋物線C：y²=x，
當直線l經過點Q（3，-1）且垂直于x軸時，此時A（3，$\sqrt{3}$），B（3，-$\sqrt{3}$），
則直線AM的斜率k_AM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直線BM的斜率k_BM=$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$，
∴k_AM•k_BM=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$×$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
當直線l不垂直于x軸時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線AM的斜率k_AM=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{1}-1}{{y}_{1}^{2}-1}$=$\frac{1}{{y}_{1}+1}$，同理直線BM的斜率k_BM=$\frac{1}{{y}_{2}+1}$，
k_AM•k_BM=$\frac{1}{{y}_{1}+1}$•$\frac{1}{{y}_{2}+1}$=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{+y}_{2}+1}$，設直線l的斜率為k（k≠0），且經過Q（3，-1），則直線l的方程為y+1=k（x-3），
聯立方程$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-3）}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，消x得，ky²-y-3k-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{1}{k}$，y₁•y₂=-$\frac{3k+1}{k}$=-3-$\frac{1}{k}$，
故k_AM•k_BM=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{+y}_{2}+1}$=$\frac{1}{-3-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
綜上，直線AM與直線BM的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查直線的斜率公式及韋達定理的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．