Question

14．設(shè)函數(shù) f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若對(duì)任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求 m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值；（2）$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立．等價(jià)于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．等價(jià)于h（x）=f（x）-x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）由題設(shè)，當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=ln x+$\frac{1}{x}$（x＞0），
則$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，令f′（x）=0，則x=1
∴當(dāng)x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，f（x）取得極小值f（1）=ln 1+1=1，
∴f（x）的極小值為1．
（2）對(duì)任意的b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立．
等價(jià)于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）
設(shè)h（x）=f（x）-x=ln x+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），
∴（*）等價(jià)于h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{x2}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
得m≥（-x²+x ）（x＞0）恒成立，等價(jià)于m≥（-x²+x ）max（x＞0），
∵當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=-x²+x （x＞0）有最大值為$\frac{1}{4}$
∴m≥$\frac{1}{4}$
∴m的取值范圍為：[$\frac{1}{4}，+∞）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于難題．