Question

3．已知全集U=R，集合A={x|0＜2x+4＜10}，B={x|x＜-4，或x＞2}，C={x|x²-4ax+3a²＜0，a＜0}，
（1）求A∪B；
（2）若∁_U（A∪B）⊆C，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A，根據集合的基本運算即可求A∪B；
（2）求出∁_U（A∪B），根據∁_U（A∪B）⊆C，建立條件關系即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：全集U=R，集合A={x|0＜2x+4＜10}={x|-2＜x＜3}，集合B={x|x＜-4，或x＞2}，
那么：A∪B={x|x＜-4，或x＞-2}，
（2）由（1）得C_U（A∪B）={x|-4≤x≤-2}，集合C={x|x²-4ax+3a²＜0，a＜0}，
∵x²-4ax+3a²＜0
化簡得：（x-a）（x-3a）＜0
∵a＜0，
∴3a＜a
故得：3a＜x＜a．
∴集合C={x|3a＜x＜a，a＜0}
要使C_U（A∪B）⊆C成立，只需$\left\{\begin{array}{l}{3a＜-4}\\{a＞-2}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得：$-2＜a＜-\frac{4}{3}$．
故得實數a的取值范圍是（-2，-$\frac{4}{3}$）．

點評 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．