Question

18．已知函數f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個零點，則實數m的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式，由題意可得 函數y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象和直線 y=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個交點，再利用正弦函數的定義域和值域，求得m的范圍．

解答 解：∵函數f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x-m=1+2sinxcosx-2sin²x-m，
=sin2x+cos2x-m=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個零點，
∴函數y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象和直線 y=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個交點．
∵在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
令t=2x+$\frac{π}{4}$，由題意可得，函數y=$\sqrt{2}$sint的圖象和直線 y=m在[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]上有兩個交點，如圖：
故m∈[1，$\sqrt{2}$），
故答案為：[1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查方程的根的存在性以及個數判斷，三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．