Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{cosB}{b}$+$\frac{cosA}{a}$=$\frac{sin（A+B）}{sinB}$．
（1）求a；
（2）若cosA=$\frac{1}{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，正弦定理，三角形內角和定理化簡已知等式即可解得a的值．
（2）由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinA的值，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤$\frac{3}{4}$（當且僅當b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號），利用三角形面積公式即可得解最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\frac{cosB}{b}$+$\frac{cosA}{a}$=$\frac{sin（A+B）}{sinB}$，
∴原式化為$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2abc}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2abc}$=$\frac{c}{b}$，解得a=1．…（6分）
（2）∵cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵由余弦定理可得：b²+c²-$\frac{2bc}{3}$=1，
∴bc≤$\frac{3}{4}$（當且僅當b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$（當且僅當b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號），即△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$…12分

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形內角和定理，同角三角函數基本關系式，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．