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9.設y=f(x)是定義在R上的函數,如果存在A點,對函數y=f(x)的圖象上任意點P,P關于點A的對稱點Q也在函數y=f(x)的圖象上,則稱函數y=f(x)關于點A對稱,A稱為函數f(x)的一個對稱點,對于定義在R上的函數f(x),可以證明點A(a,b)是f(x)圖象的一個對稱點的充要條件是f(a-x)+f(a+x)=2b,x∈R.
(1)求函數f(x)=x3+3x2圖象的一個對稱點;
(2)函數g(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是否有對稱點?若存在則求之,否則說明理由;
(3)函數g(x)=$\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$的圖象是否有對稱點?若存在則求之,否則說明理由.

分析 (1)設A(a,b)為函數f(x)=x3+3x2圖象的一個對稱點,由題意求得a、b的值,可得函數f(x)=x3+3x2圖象的一個對稱點.
(2)(2)假設A(m,n)是函數g(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一個對稱點,由f(m-x)+f(m+x)=2n求得m、n無解,可得g(x)的圖象無對稱點.
(3)(3)假設A(m,n)是函數$g(x)=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{2}{{{e^x}+1}}+1$的圖象的一個對稱點,根據f(m-x)+f(m+x)=2n,求得m、n的值,可得結論.

解答 解:(1)設A(a,b)為函數f(x)=x3+3x2圖象的一個對稱點,
則f(a-x)+f(a+x)=2b對于x∈R恒成立,即(a-x)3+3(a-x)2+(a+x)3+3(a+x)2=2b對于x∈R恒成立,
∴(6a+6)x2+(2a3+6a2-2b)=0.
由$\left\{\begin{array}{l}6a+6=0\\ 2{a^3}+6{a^2}-2b=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}\right.$,故函數f(x)圖象的一個對稱點為(-1,2).
(2)假設A(m,n)是函數g(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一個對稱點,
則a(m-x)2+b(m-x)+c+a(m+x)2+b(m+x)+c=2n(a≠0)對于x∈R恒成立,
即ax2+(am2+bm+c-n)=0對于x∈R恒成立,因為a≠0,所以ax2+(am2+bm+c-n)=0不恒成立,
即函數g(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象無對稱點.
(3)假設A(m,n)是函數$g(x)=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{2}{{{e^x}+1}}+1$的圖象的一個對稱點,
則$\frac{2}{{{e^{m-x}}+1}}+1+\frac{2}{{{e^{m+x}}+1}}+1=2n$對于x∈R恒成立,
即(2-n)eme2x+[(1-n)(1+e2m)+2]ex+(2-n)em=0對于x∈R恒成立,
所以$\left\{\begin{array}{l}(2-n){e^m}=0\\(1-n)(1+{e^{2m}})+2=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=2\end{array}\right.$,
故函數$g(x)=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$的圖象有一個對稱點A(0,2).
(其實$g(x)=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}+2$,而函數$y=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$是奇函數,其圖象關于原點對稱,故g(x)的圖象關于(0,2)對稱).

點評 本題主要考查函數的圖象的對稱性,函數的恒成立問題,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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19.給出下列結論:
①設平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內,直線b在平面β內,且b⊥m,則α⊥β是a⊥b的必要不充分條件.
②在區間[-1,1]上隨機取一個數x,則cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之間的概率為$\frac{1}{3}$
③從以正方體的頂點連線所成的直線中任取兩條,則所取兩條直線為異面直線的概率為$\frac{29}{63}$
④將4個相同的紅球和4個相同的籃球排成一排,從左到右每個球依次對應的序號為1,2,3,…,8,若同色球之間不加區分,則4個紅球對應的序號之和小于4個藍球對應的序號之和的排列方法種數為31.
其中正確結論的序號為②③④.

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20.已知$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(x,1),若$\overrightarrow{a}$∥($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$),則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

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1.若樣本x1+1,x2+1,xn+1的平均數為9,方差為3,則樣本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3,的平均數、方差是(  )
A.23,12B.19,12C.23,18D.19,18

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