Question

19．給出下列結論：
①設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且b⊥m，則α⊥β是a⊥b的必要不充分條件．
②在區間[-1，1]上隨機取一個數x，則cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之間的概率為$\frac{1}{3}$
③從以正方體的頂點連線所成的直線中任取兩條，則所取兩條直線為異面直線的概率為$\frac{29}{63}$
④將4個相同的紅球和4個相同的籃球排成一排，從左到右每個球依次對應的序號為1，2，3，…，8，若同色球之間不加區分，則4個紅球對應的序號之和小于4個藍球對應的序號之和的排列方法種數為31．
其中正確結論的序號為②③④．

Answer 1

分析 根據充分條件和必要條件的定義結合面面垂直的性質判斷①；由于函數cos$\frac{πx}{2}$是一個偶函數，故可研究出cos$\frac{πx}{2}$πx的值介于0到0$\frac{1}{2}$之間對應線段的長度，再將其代入幾何概型計算公式求解概率判斷②；意，首先由正方體的結構特征，可得從正方體的8個頂點中任取2個頂點，可以確定28條直線，再由組合數公式可得一共可以得到有C₂₈²組直線，進而分類討論其中直線異面的情況，可得異面直線的組數，由等可能事件的概率公式，計算概率判斷③；根據題意，假設有8個位置來安排8個球，其序號分別為1、2、3、…8，在8個位置中取出4個，安排紅球，剩余的安排藍球，由組合數公式計算可得紅球與藍球的安排方法數目，在所有的安排方法中，有3種情況：紅球對應序號之和等于藍球對應序號之和的排列方法數目；紅球對應序號之和小于藍球對應序號之和的排列方法數目；紅球對應序號之和大于藍球對應序號之和的排列方法數目，而紅球對應序號之和小于藍球對應序號之和的排列方法數目與紅球對應序號之和大于藍球對應序號之和的排列方法數目相等，只需用列舉求出紅球對應序號之和等于藍球對應序號之和的排列方法數目，由三者的關系計算判斷④．

解答 解：對于①，∵b⊥m，∴當α⊥β，則由面面垂直的性質可得a⊥b成立，若a⊥b，則α⊥β不一定成立，∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故①錯誤；
對于②，由于函數cos$\frac{πx}{2}$是一個偶函數，可將問題轉化為在區間[0，1]上隨機取一個數x，則cos$\frac{πx}{2}$的值介于0到$\frac{1}{2}$之間的概率在區間[0，1]上隨機取一個數x，
即x∈[0，1]時，要使cos$\frac{π}{2}$x的值介于0到$\frac{1}{2}$之間，需使$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{2}$πx≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2}{3}$≤x≤1，區間長度為$\frac{1}{3}$，故②正確；
對于③，從正方體的8個頂點中任取2個頂點，有C₈²=28種取法，即可以確定28條直線，從這28條直線中，任取2條，有C₂₈²種取法，即可以確定C₂₈²組直線，
其中異面的情況有：棱與棱異面：每條棱有4條棱與其異面，共有情況$\frac{1}{2}$×12×4=24組；棱與面對角線異面：每條棱有6條面對角線與其異面，共有情況12×6=72組；棱與體對角線異面：每條棱有2條體對角線與其異面，共有情況12×2=24組；面對角線與面對角線異面：每條面對角線與5條面對角線異面，共有情況$\frac{1}{2}$×12×5=30組；面對角線與體對角線異面：每條面對角線與2條體對角線異面，共有情況12×2=24組，則異面直線的組數為24+72+24+30+24=174組，
所取的2條成一對異面直線的概率為$\frac{174}{{C}_{28}^{2}}$=$\frac{29}{63}$，故③正確；
對于④，根據題意，假設有8個位置來安排8個球，其序號分別為1、2、3、…8，在8個位置中取出4個，安排紅球，剩余的安排藍球，有C₈⁴=70種方法，
其中4個紅球對應序號之和等于4個藍球對應序號之和的排法有：紅球占3、4、5、6四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占1、2、7、8四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占1、3、6、8四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占2、4、5、7四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占1、4、5、8四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占2、3、6、7四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占2、3、5、8四個位置，藍球占剩余的四個位置；紅球占1、4、6、7四個位置，藍球占剩余的四個位置，共8種情況，在剩余的62種情況中，紅球對應序號之和小于藍球對應序號之和的排列方法數目與紅球對應序號之和大于藍球對應序號之和的排列方法數目相等，則4個紅球對應序號之和小于4個藍球對應序號之和的排列方法種數為62÷2=31種，故④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了古典概型與幾何概型概率計算公式，是中檔題．