Question

17．設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線y=xe^-2x和直線y=x+2上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 對(duì)曲線y=xe^-2x進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分析知道，過(guò)點(diǎn)P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點(diǎn)P，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解即可．

解答 解：點(diǎn)P是曲線y=xe^-2x上的任意一點(diǎn)，
和直線y=x+2上的動(dòng)點(diǎn)Q，
求P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值，
就是求出曲線y=xe^-2x上與直線y=x+2平行的切線與直線y=x+2之間的距離．
由y′=（1-2x）e^-2x 令y′=（1-2x）e^-2x =1，解得x=0，
當(dāng)x=0，y=0時(shí)，點(diǎn)P（0，0），
P，Q兩點(diǎn)間的距離的最小值
即為點(diǎn)P（0，0）到直線y=x+2的距離d_min=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用了導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，這是高考常考的知識(shí)點(diǎn)，此題是一道中檔題．