Question

10．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{8}=1$，F₁，F₂為其焦點，P為橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面積為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，在焦點三角形中由橢圓定義及余弦定理求得|PF₁||PF₂|的值，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{8}=1$，得a²=12，b²=8，c²=4，
∴a=$2\sqrt{3}$，c=2，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos60°$，
即$4{c}^{2}=（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-3|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，
∴4c²=4a²-3|PF₁||PF₂|，得|PF₁||PF₂|=$\frac{32}{3}$．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°=\frac{1}{2}×\frac{32}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，訓練了涉及焦點三角形問題的解法，屬中檔題．