Question

3．曲線$y=\sqrt{x}$在x=1處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意求出切點坐標，由求導公式求出函數的代數，由導數的幾何意義求出切線的斜率，代入點斜式方程求出切線的方程，分別令x=0、y=0求出切線的截距，即可求出切線與坐標軸圍成的三角形面積．

解答 解：由題意知，曲線$y=\sqrt{x}$，
當x=1時y=1，則切點坐標是（1，1），
又$y′=（\sqrt{x}）′=（{x}^{\frac{1}{2}}）′$=$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
則在x=1處的切線的斜率k=$\frac{1}{2}$，
所有在x=1處的切線方程是y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），
即y=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，
令x=0，則y=$\frac{1}{2}$；令y=0，則x=-1，
所以切線與坐標軸圍成的三角形面積：
S=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
故選A．

點評 本題考查求導公式，導數的幾何意義，以及切線的直線方程的求法，屬于基礎題．