Question

11．已知函數f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）當a=0時，若直線y=2x+m與函數y=f（x）的圖象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是單調減函數，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導函數，利用直線y=2x+m與函數y=f（x）的圖象相切，求切點坐標，即可求m的值；
（2）利用f（x）在[1，2]上是單調減函數，可得f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$，≤0在[1，2]上恒成立，分離參數，求最值，即可求得a的最小值；

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∵直線y=2x+m與函數y=f（x）的圖象相切，
∴斜率k=f′（x）=lnx+1=2，解得：x=2
∵f（e）=e，
∴切點為（e，e），
∴m=-e；
（2）∵f（x）=（x-a）lnx，求導，f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$，
∵f（x）在[1，2]上是單調減函數，
∴f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，則g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上單調遞增
∴a≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值為2ln2+2；

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，考查分離參數求最值的應用，屬于中檔題．