Question

17．已知函數f（x）=1-$\frac{m}{{{5^x}+1}}$是奇函數．
（1）求m的值；
（2）證明：f（x）是R上的增函數
（6）當x∈[-1，2），求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）運用奇函數的性質：f（0）=0，可得m=2．
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，故f′（x）=$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數
（3）利用f （x）是[-1，2）上的增函數，即可求函數f （x）的值域

解答 解：（1）因為函數f（x）=1-$\frac{m}{{{5^x}+1}}$是奇函數，
所以f（0）=1-$\frac{m}{{5}^{0}+1}$=0，
解得：m=2，
（2）證明：（2）由（1）得：函數f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
故f′（x）=$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函數；
（3）由（2）知f （x）是[-1，2）上的增函數，
∵f （-1）=-$\frac{2}{3}$，f （2）=$\frac{12}{13}$
∴當x∈[-1，2）時，函數f （x）的值域是[-$\frac{2}{3}，\frac{12}{13}]$．

點評 本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，導數法研究函數的單調性，函數的奇偶性，函數解析式的求法，難度中檔