Question

1．如圖，在邊長為2的正三角形△ABC中，D為BC的中點，E，F分別在邊CA，AB上．
（1）若$DE=\sqrt{2}$，求CE的長；
（2）若∠EDF=60°，問：當∠CDE取何值時，△DEF的面積最小？并求出面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，由已知及余弦定理可得CE²-CE-1=0，進而解得CE的值．
（2）設∠CDE=α，30⁰≤α≤90⁰，在△CDE中，由正弦定理，可求DE=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（60°+α）}$，$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{2sinα}$，利用三角形面積公式可求S_△DEF=$\frac{3\sqrt{3}}{4+8sin（2α-30°）}$，由范圍30⁰≤2α-30⁰≤150⁰，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 解：（1）在△CDE中，$∠DCE={60^0}，CD=1，DE=\sqrt{2}$，
由余弦定理得，DE²=CD²+CE²-2×CD×CE×cos60°，
得CE²-CE-1=0，解得$CE=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$；
（2）設∠CDE=α，30⁰≤α≤90⁰，
在△CDE中，由正弦定理，得$\frac{DE}{sin∠DCE}=\frac{DC}{sin∠CED}$，
所以$DE=\frac{{sin{{60}^0}}}{{sin（{{{60}^0}+α}）}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2sin（{{{60}^0}+α}）}}$，同理$DF=\frac{{\sqrt{3}}}{2sinα}$，
故${S_{△DEF}}=\frac{1}{2}×DE×DF×sin∠EDF=\frac{{3\sqrt{3}}}{{16sinαsin（{{{60}^0}+α}）}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{4+8sin（{2α-{{30}^0}}）}}$，
因為30⁰≤α≤90⁰，30⁰≤2α-30⁰≤150⁰，
所以當α=60⁰時，sin（2α-30⁰）的最大值為1，此時△DEF的面積取到最小值．
即∠CDE=60°時，△DEF的面積的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，正弦函數的圖象和性質的綜合應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．