Question

16．已知F是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左焦點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于$\sqrt{3}$，則直線OP（O為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{3}{2}}]∪（{\frac{{3\sqrt{3}}}{8}，\frac{3}{2}}]$
• C． $（{-∞，-\frac{3}{2}}）∪（{\frac{{3\sqrt{3}}}{8}，\frac{3}{2}}）$
• D． $[{-\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到滿足直線FP的斜率大于$\sqrt{3}$的P的范圍，則直線OP的斜率的取值范圍可求．

解答 解：由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得a²=4，b²=3，∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$．
則F（-1，0），
如圖：過F作垂直于x軸的直線，交橢圓于A（x軸上方），則x_A=-1，
代入橢圓方程可得${y}_{A}=\frac{3}{2}$．
當(dāng)P為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，P（0，$\sqrt{3}$），此時(shí)${k}_{FP}=\sqrt{3}$，
又${k}_{OA}=-\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)直線FP的斜率大于$\sqrt{3}$時(shí)，直線OP的斜率的取值范圍是$（-∞，-\frac{3}{2}）$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．