Question

11．若向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow c+\overrightarrow b•\overrightarrow c$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由向量數量積的性質，向量的平方即為模的平方，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，再由向量數量積的定義和余弦函數的有界性，即可得到所求最大值．

解答 解：向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2+0+1}$=$\sqrt{3}$．
則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=$\sqrt{3}$?$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞≤3．
當且僅當$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$同向共線，可得最大值3．
故選：D．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查余弦函數的有界性，屬于中檔題．