Question

10．對某產品1至6月份銷售量及其價格進行調查，其售價x和銷售量y之間的一組數據如表所示：

月份i	1	2	3	4	5	6
單價xi（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
銷售量yi（件）	11	10	8	6	5	14

（1）根據1至5月份的數據，求解y關于x的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過0.5元，則認為所得到
的回歸方程是理想的，試問所得回歸方程是否理想？
參考公式：回歸直線的方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，
其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸直線方程；
（2）利用回歸方程計算x=8時$\stackrel{∧}{y}$的值，再求$\stackrel{∧}{y}$-y的值，即可得出結論．

解答 解：（1）根據題意，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8．（ 2分）
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-1）×3+（-0.5）×2+0+0.5×（-2）+1×（-3）=-8，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=1+0.25+0+0.25+1=2.5；
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-8}{2.5}$=-3.2，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=8-（-3.2）×10=40；
∴y關于x的回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=-3.2x+40；（ 8分）
（2）當x=8時，$\stackrel{∧}{y}$=-3.2×8+40=14.4，（ 10分）
$\stackrel{∧}{y}$-y=14.4-14=0.4＜0.5，
∴所得回歸方程是理想的．（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是基礎題．