Question

2．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，M分別是線段BC，CC₁，AB的中點，AA₁=2AB=4．
（1）求證：DE∥平面A₁MC；
（2）求點B到面MA₁C的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁，設O為A₁C，AC₁的交點，連接OM，OE，MD，推出四邊形MDEO為平行四邊形，得到DE∥MO，即可證明DE∥平面A₁MC．
（2）說明三角形A₁MC是直角三角形，利用${V}_{{A}_{1}-AMC}={V}_{A-{A}_{1}MC}$，求解即可．

解答 （1）證明：如圖，連接AC₁，設O為A₁C，AC₁的交點，
由題意可知O為AC₁的中點，連接OM，OE，MD，
∵MD，OE分別為△ABC，△ACC₁中的AC邊上的中位線，
∴$\overrightarrow{MD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{OE}$，
∴四邊形MDEO為平行四邊形，∴DE∥MO．
又∵DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，
∴DE∥平面A₁MC．
（2）解：∵M是線段AB的中點，∴點B到面MA₁C的距離，就是點A到面MA₁C的距離，設為：h；正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=4，可得AM=1，MA₁=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，CM=$\sqrt{3}$，A₁C=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，可得三角形A₁MC是直角三角形，
${V}_{{A}_{1}-AMC}={V}_{A-{A}_{1}MC}$，
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×4$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{17}•h$，
解得h=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．