Question

3．已知空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AC}$
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=3，$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{BC}$，求$\overrightarrow{c}$；
（2）若k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$互相垂直，求k；
（3）若向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$平行，求k．

Answer 1

分析 （1）根據空間向量的坐標表示與共線定理，利用模長公式，即可求出$\overrightarrow{c}$；
（2）利用兩向量垂直數量積為0，列方程求出k的值；
（3）根據向量共線定理，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-2，-1，2），
由$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{BC}$，設$\overrightarrow{c}$=（-2x，-x，2x），且x≠0，
∴${|\overrightarrow{c}|}^{2}$=4x²+x²+4x²=9x²=9，解得x=±1，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，1，-2）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-1，2）；
（2）$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，2），
若k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$互相垂直，則（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴k²${\overrightarrow{a}}^{2}$-k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即k²•（1²+1²+0²）-k•（-1+0+0）-2•[（-1）²+0²+2²]=0，
化簡得2k²+k-10=0，
解得k=-$\frac{5}{2}$或k=2；
（3）向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（k-1，k，2），
$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$=（1-k，1，2k），
由向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$平行，則
$\left\{\begin{array}{l}{k-1=λ（1-k）}\\{k=λ}\\{2=2λk}\end{array}\right.$，
解得k=1或k=-1．

點評 本題考查了空間向量的坐標表示與運算問題，是中檔題．