Question

11．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=2-2S_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=log₃（1-S_n）（n∈N^*），若$\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{25}{51}$，求自然數n的值．

Answer 1

分析 （1）根據a_n=S_n-S_n-1得出遞推公式，得出{a_n}為等比數列，再計算a₁，得出通項公式；
（2）計算b_n，利用裂項法求和，根據求和公式列方程得出n．

解答 解：（1）由a_n=2-2S_n得2S_n=2-a_n，
∴2S_n-1=2-a_n-1，（n≥2）
當n=1時，a₁=$\frac{2}{3}$，
當n≥2時，2a_n=a_n-1-a_n，即a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴a_n=$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
（2）S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，∴b_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{n+1}$=$\frac{25}{51}$，解得n=101．

點評 本題考查了等比數列的判斷，裂項法求和，屬于基礎題．