Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是梯形，∠ABC=90°，BC∥AD，且$PA=AB=BC=\frac{1}{2}AD=1$．
（1）求直線PB與CD所成的角；
（2）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點Q，連BQ、PQ．可得∠PBQ即為PB與CD所成的角．
可得△PBQ是邊長為$\sqrt{2}$的正三角形，∠PBQ=60°，即可；
（2）令A到平面PCD的距離為d，由V_A-PCD=V_P-ACD，得$\frac{1}{3}{S_{△PCD}}•d=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PA$，
即PC•CD•d=AD•CQ•PA，即$\sqrt{3}•\sqrt{2}•d=2•1•1$，即得點A到平面PCD的距離．

解答 解：（1）取AD的中點Q，連BQ、PQ．
因為$BC\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，所以$DQ\underline{\underline{∥}}BC$，即四邊形BCDQ為平行四邊形，所以BQ∥CD，
于是∠PBQ即為PB與CD所成的角．
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，由PA=AB=1，得$PB=\sqrt{2}$，同理$PQ=\sqrt{2}$．
又因為∠ABC=90°，BC∥AD，所以∠BAQ=90°，由AB=AQ=1，得$BQ=\sqrt{2}$，
于是△PBQ是邊長為$\sqrt{2}$的正三角形，所以∠PBQ=60°，
即PB與CD所成的角為60°．
（2）由AB=BC=1，∠ABC=90°，得$AC=\sqrt{2}$，于是$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{3}$，
連CQ，由AD=2，Q為AD的中點，得DQ=1，
而CQ=AB=1，所以$CD=\sqrt{2}$，
又因為PD²=PA²+AD²=5，所以PD²=PC²+CD²，即∠PCD=90°，
令A到平面PCD的距離為d，
由V_A-PCD=V_P-ACD，得$\frac{1}{3}{S_{△PCD}}•d=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PA$，
即PC•CD•d=AD•CQ•PA，即$\sqrt{3}•\sqrt{2}•d=2•1•1$，解得$d=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即點A到平面PCD的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查了空間線線角、點面距離，考查了計算能力、空間想象能力，屬于中檔題，