Question

15．向量$\overrightarrow a=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）$，$\overrightarrow b=（1，y）$，已知$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，且有函數y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的周期；
（2）已知銳角△ABC的三個內角分別為A，B，C，若有$f（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，邊BC=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，求AC的長及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由平面向量共線的性質，兩角和的正弦函數公式可求$y=f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，利用正弦函數的周期公式即可計算得解．
（2）由$f（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，可得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結合△ABC是銳角三角形，可求$A=\frac{π}{3}$，由正弦定理可得AC，利用余弦定理可求AB，進而根據三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，可得：$\frac{1}{2}y-（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=0$，
即$y=f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
所以，函數f（x）的周期為T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）由$f（A-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，可得：$2sin（A-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，即$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵△ABC是銳角三角形，
∴可得：$A=\frac{π}{3}$，
∵由正弦定理：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$及條件$BC=\sqrt{7}$，$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
可得：$AC=\frac{BC•sinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{7}•\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$，
又∵BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，即$7=A{B^2}+4-2•AB×2×\frac{1}{2}$，解得：AB=3，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}AB•AC•sinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查了平面向量共線的性質，兩角和的正弦函數公式，正弦函數的周期公式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．