Question

2．為推行“新課改”教學法，某數學老師分別用傳統教學和“新課改”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中個隨機抽取20名學生的成績進行統計，結果如表：記成績不低于105分者為“成績優良”．

分數	[0，90）	[90，105）	[105，1200）	[120，135）	[135，150）
甲班頻數	5	6	4	4	1
乙班頻數	1	3		6	5

（1）由以上統計數據填寫下面的2×2列聯表，并判斷能否有97.5%的把握認為“成績優良”與教學方式有關？
（2）現從上述40人中，學校按成績是否優良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核，在這8人中，記成績不優良的乙班人數為X，求X的分布列和數學期望．

	甲班	乙班	總計
成績優良
成績不優良
總計

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，（n=a+b+c+d）
臨界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.050	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根據以上統計數據填寫2×2列聯表，根據列聯表計算K²，對照臨界值得出結論；
（2）由題意知X的可能取值，計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）根據以上統計數據填寫2×2列聯表，如下；

	甲班	乙班	總計
成績優良	9	16	25
成績不優良	11	4	15
總計	20	20	40

根據列聯表，計算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{40{×（9×4-16×11）}^{2}}{25×15×20×20}$≈5.227＞5.024，
對照臨界值知，有97.5%的把握認為“成績優良”與教學方式有關；
（2）由表可知，8人中成績不優良的人數為3，則X的可能取值為0、1、2、3，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{33}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{11}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{44}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{66}{455}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{4}{455}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{4}{255}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{33}{91}$+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{364}{455}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的問題和離散型隨機變量的分布列與數學期望問題，是中檔題．