Question

10．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$與橢圓${C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$有相同的離心率，且經過點P（2，-1）．
（ I）求橢圓C₁的標準方程；
（ II）設點Q為橢圓C₂的下頂點，過點P作兩條直線分別交橢圓C₁于A、B兩點，若直線PQ平分∠APB，求證：直線AB的斜率為定值，并且求出這個定值．

Answer 1

分析 （ I）求出離心率，結合橢圓經過的點，列出方程組求解a，b，即可求橢圓C₁的標準方程；
（ II）由直線PQ平分∠APB和Q（0，-1），P（2，-1）⇒k_PQ=.0⇒k_PA+k_PB=0，而由直線AB：y=kx+m與橢圓聯立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），結合韋達定理轉化求解即可．

解答 解：（ I）橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$與橢圓${C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$有相同的離心率，可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經過點P（2，-1）．可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=2．
橢圓${C_1}：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$；
（ II）由直線PQ平分∠APB和Q（0，-1），P（2，-1）⇒k_PQ=0⇒k_PA+k_PB=0，
而由直線AB：y=kx+m與$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1⇒（1+4{k^2}）{x^2}+8kmx+4{m^2}-8=0$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-8}}{{1+4{k^2}}}$，由${k_{PA}}+{k_{PB}}=0⇒\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}+1}}{{{x_2}-2}}=0⇒\frac{{k{x_1}+m+1}}{{{x_1}-2}}+$$\frac{{k{x_2}+m+1}}{{{x_2}-2}}=0⇒2k{x_1}{x_2}+（m+1-2k）（{x_1}+{x_2}）-4（m+1）=0⇒m（2k+1）+4{k^2}+4k+1=0$恒成立
$⇒k=-\frac{1}{2}⇒$直線AB的斜率為定值$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，橢圓求法求法求法直線與橢圓的位置關系的綜合應用，定值問題的求法，考查轉化思想以及計算能力．