Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，它的周期是π，則以下命題錯(cuò)誤的是（　　）

• A． f（x）的圖象過點(diǎn)$（0，\frac{1}{2}）$
• B． f（x）在$[{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是減函數(shù)
• C． f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的最大值為A

Answer 1

分析 由周期求出ω，由函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的周期是π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2π}{3}$對(duì)稱，可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
由于A不確定，故不能確定f（x）的圖象過點(diǎn)$（0，\frac{1}{2}）$，故A錯(cuò)誤；
在$[{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[π，$\frac{3π}{2}$]，故f（x）在$[{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是減函數(shù)，故B正確；
令x=$\frac{5π}{12}$，求得f（x）=0，可得f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)$（{\frac{5π}{12}，0}）$，故C正確；
顯然，f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的最大值為A，故D正確，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．