Question

11．設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），若S_n為數列前n項和，則S₂₀₁₆=（　　）

• A． 2²⁰¹⁶-1
• B． 3•2¹⁰⁰⁸-3
• C． 2²⁰⁰⁹-3
• D． 2²⁰¹⁰-3

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，a₂a₁=2，解得a₂=2．可得數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比都為2，首項分別為1，2．即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，a₂a₁=2，解得a₂=2．
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比都為2，首項分別為1，2．
則S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故選：B．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．