Question

18．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜0}\\{\sqrt{x}，x≥0}\end{array}\right.$，若關于x的方程f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作出函數f（x）的圖象，關于x的方程f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數根，即為直線y=a（x+1）與曲線y=$\sqrt{x}$相交時，與f（x）的圖象有三個交點，求出直線與曲線y=$\sqrt{x}$相切時的斜率，即可得到a的取值范圍．

解答 解：作出函數f（x）的圖象，如右圖：
作出直線y=a（x+1），則直線恒過（-1，0），
關于x的方程f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數根，即為當直線與曲線y=$\sqrt{x}$相交時，
與f（x）的圖象有三個交點，
當直線與曲線y=$\sqrt{x}$相切時，
設切點為（m，$\sqrt{m}$），
則y′=$\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}$，則切線斜率為$\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{m}}$=a，
又a（m+1）=$\sqrt{m}$，由此解得，
a=$\frac{1}{2}$（負的舍去），
故a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案為（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查分段函數及運用，考查分段函數的圖象和應用，考查數形結合的思想方法，以及運用導數求切線方程，屬于中檔題．