Question

7．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$．
（1）求x+2y最大值；
（2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{3b}$的最小值；
（3）若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，求值k．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，（1）利用x+2y的幾何意義，求出最大值即可；
（2）利用目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，得到ab的關(guān)系式，利用基本不等式求解最值即可．
（3）利用目標(biāo)函數(shù)z=kx+y最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，通過幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$的可行域為：
（1）令z=x+2y，當(dāng)直線經(jīng)過，可行域的C點時，
x+2y取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，
解得C（4，6），
可得x+2y取最大值16；
（2）目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，可知，z=ax+by經(jīng)過C時，取得最大值，可得$4a+6b=4⇒a+\frac{3}{2}b=1$
$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{3b}$=$（\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}）（a+\frac{3}{2}b）=2+\frac{3b}{2a}+\frac{2a}{3b}≥4$；
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=1時取得最小值4．
（3）由z=kx+y得y=-kx+z，
若k=0，則y=z，此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值的解只有無數(shù)個，滿足條件．
若k＞0，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，不滿足題意，
若k＜0，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，
則目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與AC：3x+y-6=0平行，
此時k=-3，
綜上k=0或-3．
故答案為：k=0或-3

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．