Question

17．已知m∈R，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}$，g（x）=x²-2x+2m-1，下列敘述中正確的有②
①函數y=f（f（x））有4個零點；
②若函數y=g（x）在（0，3）內有零點，則-1＜m≤1；
③函數y=f（x）+g（x）有兩個零點的充要條件是m≤-$\frac{1}{2}$或m≥-$\frac{1}{8}$；
④若函數y=f（g（x））-m有6個零點則實數m的取值范圍是（0，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 ①由f（x）=0，可得x=-$\frac{1}{2}$或x=2，由log₂（x-1）=-$\frac{1}{2}$，可得x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；log₂（x-1）=2，可得x=5，可得結論；
②x²-2x+2m-1=0，可得2m=-（x-1）²+2，利用函數y=g（x）在（0，3）內有零點，則-1＜m≤1；
③函數y=f（x）+g（x）有兩個零點，等價于x＜1時，函數y=f（x）+g（x）有1個零點，即可得出結論；
④由于函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}$，g（x）=x²-2x+2m-1．可得當g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m時，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．當g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m時，則y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．再對m分類討論，利用直線y=m與函數y=f（g（x））圖象的交點必須是6個即可得出．

解答 解：①由f（x）=0，可得x=-$\frac{1}{2}$或x=2，由log₂（x-1）=-$\frac{1}{2}$，可得x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；log₂（x-1）=2，可得x=5
∴函數y=f（f（x））有2個零點，不正確；
②x²-2x+2m-1=0，可得2m=-（x-1）²+2，∵函數y=g（x）在（0，3）內有零點，則-1＜m≤1，正確；
③∵函數y=f（x）+g（x）有兩個零點，x＞1時函數y=f（x）+g（x）有1個零點，∴x＜1時，函數y=f（x）+g（x）有1個零點，∴-2m+2≥2×1+1，∴m≤-$\frac{1}{2}$，∴函數y=f（x）+g（x）有兩個零點的充要條件是m≤-$\frac{1}{2}$，不正確；
④∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}$，g（x）=x²-2x+2m-1．
∴當g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m時，
則y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．
當g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m時，則y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．
當m≥$\frac{3}{2}$時，y=m只與y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]的圖象有兩個交點，不滿足題意，應該舍去．
當m＜$\frac{3}{2}$時，y=m與y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]的圖象有兩個交點，需要直線y=m與函數
y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|的圖象有四個交點時才滿足題意．
∴0≤m＜3-4m，又m＜$\frac{3}{2}$，解得0≤m＜$\frac{3}{5}$．
綜上可得：m的取值范圍是0≤m＜$\frac{3}{5}$．故不正確．
故答案為②．

點評 本題考查了分段函數的圖象與性質、含絕對值函數的圖象、對數函數的圖象、函數圖象的交點的與函數零點的關系，考查了推理能力與計算能力，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．