Question

9．無窮數列　P：a₁，a₂，…，a_n，…，滿足a_i∈N^*，且a_i≤a_i+1（i∈N^*），對于數列P，記T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），其中min{n|a_n≥k}表示集合{n|a_n≥k}中最小的數．
（1）若數列P：1?3?4?7?…，則T₅（P）=4；
（2）已知a₂₀=46，則s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=966．

Answer 1

分析 （1）根據題意直接可得結論；
（2）考查符合條件的數列P中，存在某個i（i≤i≤19）滿足a_i≤a_i+1，通過T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），可得Tai+1（P）=i+1，故只需將數列P略作調整，僅將第a_i的值增加1，即調整后s′=s．如果數列{a_n′}還有存在相鄰兩項不相等，繼續做以上的操作，最終一定可以經過有限次的操作，使得{a_n}中的每一項變為相等，且操作中保持s的值不變，計算即可．

解答 解：（1）∵數列P：1?3?4?7?…，即從第三項起每項是前兩項的和，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=2，T₃（P）=2，T₄（P）=3，T₅（P）=4；
故答案是：4；
（2）考查符合條件的數列P中，
若存在某個i（1≤i≤19）滿足a_i≤a_i+1，
對應可得T_k（P），及s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）．
∵T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），∴Tai+1（P）=i+1，
下面將數列P略作調整，僅將第a_i的值增加1，具體如下：
將a_j′=a_j+1，對于任何j（j≠1）令a_j′=a_j，可得數列P′及其對應數列T_k（P′），
根據數列T_k（P′）的定義，可得Tai+1（P′）=i，且T_j（P′）=T_j（P）（j≠a_i+1）．
顯然Tai+1（P′）=Tai+1（P）-1，
∴s′=a₁′+a₂′+…+a₂₀′+T₁（P′）+T₂（P′）+…+T₄₆（P′）
=a₁+a₂+…+a_i-1+（a_i+1）+a_i+1+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+（Tai+1-1）+Tai+2+…+T₄₆（P）
=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=s，
即調整后s′=s．
如果數列{a_n′}還有存在相鄰兩項不相等，繼續做以上的操作，
最終一定可以經過有限次的操作，使得{a_n}中的每一項變為相等，
且操作中保持s的值不變，
而當a₁=a₂=…=a₂₀=46時，T₁（P）=T₂（P）=…=T₄₆（P）=1，
∴s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=46×20+46=966．
故答案是：966．

點評 本題是一道建立在數列上的新定義題，考查分類討論的思想，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．