Question

19．已知函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg|x-2|}&{（x≠2）}\\ 1&{（x=2）}\end{array}}\right.$，若g（x）=[f（x）]²+bf（x）+c（其中b，c為常數）恰有5個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=（　　）

• A． 3lg2
• B． 2lg2
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 若g（x）=[f（x）]²+bf（x）+c（其中b，c為常數）恰有5個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中有三個數使f（x）=0，另兩個關于x=2對稱，則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，代入可得答案．

解答 解：函數$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg|x-2|}&{（x≠2）}\\ 1&{（x=2）}\end{array}}\right.$的圖象如下圖所示：

若g（x）=[f（x）]²+bf（x）+c（其中b，c為常數）恰有5個不同的零點，
則g（x）=t²+bt+c有兩個根，其中一個根為0，
即x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中有三個數使f（x）=0，
另兩個關于x=2對稱，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
故f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=lg8=3ln2，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的零點與方程的根，數形結合思想，難度中檔．