Question

14．已知直線y=ex+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為$\frac{3}{e}$．

Answer 1

分析 切點在切線上也在曲線上得到切點坐標滿足兩方程；又曲線切點處的導數值是切線斜率得第三個方程．

解答 解：設切點P（x₀，y₀），則y₀=ex₀+1，y₀=ln（x₀+a），
又∵$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}+a}$=e
∴x₀+a=$\frac{1}{e}$，x₀=$\frac{1}{e}$-a
代入y₀=ln（x₀+a），
∴y₀=-1，
y₀=-1代入y₀=ex₀+1，
解得x₀=-$\frac{2}{e}$，
x₀=-$\frac{2}{e}$代入x₀+a=$\frac{1}{e}$，
∴a=$\frac{3}{e}$．
故答案為$\frac{3}{e}$．

點評 本題考查導數的幾何意義，常利用它求曲線的切線方程，考查計算能力．